De waanzin der wiskundigen

HET LAATSTE raadsel van Fermat vertelt hét wiskundige verhaal van deze eeuw, dat een tijdelijk hoogtepunt bereikte op 23 Juni 1993. Die dag gaf de wiskundige Andrew Wiles een lezing op een wiskundige conferentie in Cambridge. Bij de laatste logische beweringen die Wiles op het bord schreef, klikten camera’s. Er volgde een ovationeel applaus. Het was met recht een historisch moment. Een triomfantelijke Andrew Wiles ontvouwde, na zeven jaar in afzondering te hebben gewerkt, het bewijs van de laatste stelling van Fermat, al honderden jaren niet alleen de heilige graal van de wiskunde, maar ook een dodelijke sirene. Een stelling die door velen als onbewijsbaar werd verondersteld. ‘Le théorema de Fermat enfin résolu’, opende Le Monde de volgende dag. Overal ter wereld was de gebeurtenis voorpaginanieuws en Wiles werd door het tijdschrift People uitgeroepen tot een van de meest intrigerende mensen van dat jaar, samen met onder andere Oprah Winfrey en Lady Diana.

Een paar maanden later gebeurde er iets verschrikkelijks. Het bewijs, opgebouwd uit honderden wiskundige berekeningen, bleek een fout te bevatten. Het was niet waterdicht. Voor de zoveelste keer leek de stelling van Fermat zich te ontpoppen als een duivelse vloek. Het bericht van het falen van Wiles ging via e-mail de wereld over. Veel wiskundigen haalden berustend de schouders op. Het was ook te mooi om waar te zijn.
Wiles gaf zich echter niet meteen gewonnen. Hij probeerde wanhopig de fouten te repareren. Na een jaar ploeteren stond hij op het punt om zijn nederlaag te erkennen. Op de valreep ontdekte hij alsnog een briljante list, die het bewijs toch deed werken. ‘Hij kan slechts met moeite over het moment praten dat hij realiseerde dat hij het bewijs rond had’, zegt Simon Singh, die Wiles langdurig interviewde voor een BBC-documentaire. 'Hij vertelde het niet zoals jij en ik het zouden vertellen, maar hij beleefde het moment opnieuw en brak voor de camera in tranen uit.’
Sinds dat moment was ook documentairemaker en natuurkundige Simon Singh gevangen door de wondere wereld van de wiskundigen. Hij besloot een boek te schrijven over de geschiedenis van de stelling van Fermat, die honderden jaren de wiskundigen tartte. Singh: 'Gewone mensen lachen om natuurkundigen, maar natuurkundigen lachen weer om wiskundigen. Veel van wat ze doen lijkt volkomen doelloos en extreem moeilijk tegelijk, maar als je Wiles hoort vertellen over zijn ontdekking moet je wel concluderen dat er iets speciaals aan de hand is, iets magisch.’
SINGHS BOEK vertelt niet alleen het verhaal van de obsessieve Andrew Wiles, de grootste wiskundige van deze tijd, maar ook de geschiedenis die voorafging aan het bewijs. Een geschiedenis die begint met het werk van de Griekse wijsgeer Pythagoras. En die loopt langs een weg bezaaid met briljante gekken, duivelskunstenaars en romantische geesten. De geschiedenis van de laatste stelling van Fermat is rijk aan wonderlijke verhalen, zoals dat van Evariste Galois.
'Mijn favoriet’, zegt Singh. 'Een soort wiskundige terrorist.’ Galois (1811-1832) leefde ten tijde van de Restauratie, die in Frankrijk de Bourbons weer op de troon had gebracht. Zijn vader was een burgemeester met republikeinse sympathieën en werd daarom zo belasterd dat hij zelfmoord pleegde. Evariste ontpopte zich tot een antimonarchist, een rebel die van meerdere scholen werd gestuurd omdat hij én onhandelbaar was én niet begrepen werd. Zijn wiskundige inzichten waren de tijd zo ver vooruit dat niemand ze kon volgen. Wegens het openlijk belasteren van de koning werd Galois tot overmaat van ramp in de gevangenis gegooid, waar hij aan de drank raakte en tijdens een delirium een mislukte poging tot zelfmoord deed. Omdat er een cholera-epidemie uitbrak in de gevangenis werd Galois vrijgelaten.
Singh: 'Weer in vrijheid ontmoette Evariste de mysterieuze Stephanie, op wie hij hartstochtelijk verliefd werd. Het meisje was echter al verloofd. Haar verloofde ontdekte het verraad en Galois werd uitgedaagd tot een duel.’ Galois wist dat hij de tweestrijd waarschijnlijk zou verliezen, omdat zijn rivaal bekend stond als een vaardig schutter. De jongen begon in allerijl zijn wiskundige vondsten op te tekenen. Het resultaat was een aantal vellen met losse krabbels, onvoltooide berekeningen, vele malen de naam van zijn geliefde, en wanhopige uitroepen als: 'Ik heb geen tijd, ik heb geen tijd.’
De wanhopige krabbels bleken briljante ideeën te bevatten, en waren voer voor vele generaties mathematici. Ze bevatten diepzinnige inzichten die het gezicht van de wiskunde zouden veranderen, en die ook een opening boden voor het aanpakken van het laatste theorema van Fermat.
'Nog steeds twisten geschiedkundigen over de vraag of er sprake was van een complot. Mogelijk is Galois in een val gelopen’, vertelt Singh. Feit blijft dat een van de grootste wiskundigen aller tijden door een buikschot de dood vond in een afgelegen bos. Hij was toen pas twintig jaar oud.
Een andere tragische wiskundige wiens naam altijd aan de laatste stelling van Fermat verbonden zal blijven, is de briljante Japanse Ytaka Taniyama, die in de jaren vijftig de bijzondere observatie deed dat twee zeer uiteenlopende takken van de wiskunde - elliptische vergelijkingen en modulaire vormen - met elkaar in verband gebracht konden worden. (Een ontdekking die te vergelijken valt met de natuurkundige observatie dat elektriciteit en magnetisme aan elkaar gekoppeld zijn.) Deze suggestie, die de geschiedenis inging als 'het vermoeden van Taniyama-Shimura’, werd aanvankelijk door niemand serieus genomen. Midden jaren tachtig bleek ze echter de sleutel tot het bewijs van de stelling van Fermat. Andrew Wiles bewees het vermoeden van Taniyama-Shimura, en daarmee de stelling van Fermat. Het maakte hem tot de grootste wiskundige van dit moment. Taniyama heeft het echter niet meegemaakt. Hij pleegde in 1958 zelfmoord - omdat hij 'moe’ was.
MEDE DOOR deze tragische verhalen werd het boek van Singh een groot succes in Engeland. Wiskundigen bleken beter te verkopen dan seriemoordenaars: Fermat’s Last Theorem voerde wekenlang de non-fictielijst aan. Het boek wordt vertaald in 29 talen. Opmerkelijk, aangezien wiskunde door de meeste mensen wordt geassocieerd met stoffig en saai. In geen enkele wetenschappelijke discipline vind je echter zo veel romantische verhalen als in de wiskunde.
Mede vanwege het succes van Singhs boek verschijnen in Engeland en Amerika deze zomer een paar boeken over wiskundigen. Zoals over John Nash. Nash was een knappe maar vreemde jongeman. Met de aanbeveling 'This man is a genius’ kwam hij op het beroemde Princeton Institute for Advanced Studies terecht, waar ook zwaargewichten als Einstein bivakkeerden. Nash was er een bekende verschijning. Hij liep er schijnbaar doelloos door de gangen en stapte regelmatig zomaar ergens naar binnen om enkele onbegrijpelijke formules op een bord te schrijven. Een gewoonte die niet door iedereen op prijs werd gesteld. Zijn proefschrift, dat 27 pagina’s telt en dat hij op 21-jarige leeftijd voltooide, is een van de grote mijlpalen in de speltheorie. Een theorie die een revolutie zou betekenen in de economie, maar Nash’ werk werd aanvankelijk totaal genegeerd. Toen de waardering eindelijk kwam en hij door het tijdschrift Fortune werd uitgeroepen tot 'America’s brilliant young star of the new mathematics’, ging het compleet mis.
Singh: 'Nash werd knettergek en beweerde dat aliens met hem praatten, dezelfde aliens die hem altijd wiskundige oplossingen influisterden.’ Hij verloor zijn werk en familie en verdween een tijd naar Europa, op de vlucht voor onduidelijke personen. Op een dag keerde hij terug naar Princeton, waar hij als een geest door de gangen zwierf. Soms krabbelde hij wat magische getallen op een bord, waarvan hij vervolgens de diepere betekenis probeerde te achterhalen.
Iedereen had Nash al afgeschreven toen hij rond zijn vijftigste ineens weer bij zinnen kwam. De dingen die hij op het bord schreef begonnen steeds meer op 'gewone wiskunde’ te lijken. Nash werd langzaam maar zeker weer 'normaal’ en ontving in 1994 de Nobelprijs voor de economie. (Een Nobelprijs voor wiskunde bestaat curieus genoeg niet. Over de reden hiervan worden snode dingen gefluisterd, waaronder dat Alfred Nobels vrouw vreemd ging met een wiskundige.)
Een ander boek dat binnenkort verschijnt, vertelt het verhaal van de Hongaarse zonderling Paul Erdös. Een grote geest die slechts gewapend met een koffertje de wereld rondreisde, van universiteit naar universiteit. Het enig wat hij deed was problemen oplossen - en nieuwe creëren.
Nergens lijken waanzin, fanatisme, genialiteit en tragedie zo dicht bij elkaar te liggen als in de geschiedenis van de wiskunde. Neem de Indiër Ramanujan, die zonder opleiding opgroeide in een arm dorp en een wiskundig wonderkind bleek dat naar Engeland werd gehaald om daar op 32-jarige leeftijd te sterven. Neem de briljante homoseksueel Alan Turing, die in de oorlog meehielp om de Enigma-code te breken en die in 1954 zelfmoord pleegde.
WISKUNDE MAG dan gebaseerd zijn op pure logica, de manier waarop grote wiskundigen tot inzichten komen heeft daar niets mee te maken. De Japanner Taniyama was een beruchte chaoot, die 'steeds fouten in de goede richting maakte’, zoals zijn collega Shimura opmerkte. Mensen als Ramanujan, Galois en Nash 'zagen’ direct de oplossing van uitermate gecompliceerde problemen. Door leraren werden de genieën dan ook vaak niet serieus genomen, gewoon omdat ze de redeneringen van hun pupillen niet konden volgen.
Het onderbewuste en de intuïtie nemen. kortom, een belangrijke plaats in. Singh vertelt over de gesprekken die hij hierover met Wiles had. 'Hij vertelde dat hij zich twee dagen volledig op een deelprobleem concentreerde, en dan de derde dag een wandeling maakte langs de rivier. En op die momenten viel hem vaak iets in. Wiles vergelijkt het vinden van zijn bewijs met het betreden van een donker kasteel. Je gaat een kamer binnen en bevoelt in de duisternis alle objecten. Banken, stoelen enzovoorts. Je struikelt een paar keer, maar uiteindelijk vind je de lichtschakelaar en wordt in een keer alles duidelijk. En dan ga je naar de volgende kamer, en daar gebeurt hetzelfde. Net zolang totdat het hele kasteel geen geheimen meer voor je kent. Wiskunde heeft te maken met het ontdekken van dingen die nog niemand eerder heeft ontdekt.’
Een briljante pestkop
De laatste stelling van Fermat vindt zijn oorsprong in de zogenaamde pythagoreïsche drietallen. De oude Grieken, aangevoerd door Pythagoras, schiepen er een genoegen in om pythagoreïsche drietallen te vinden, dat wil zeggen drie gehele getallen waarvoor geldt x 2+y 2 = z 2. Een voorbeeld is het rijtje 3, 4, 5. Immers:3 2+4 2 = 5 2 (oftewel 9+16 = 25). Andere voorbeelden van pythagoreïsche drietallen zijn (5, 12, 13), en (99, 4900, 4901).
Pierre de Fermat tartte in 1637 de wiskundige gemeenschap met de bewering dat je nooit drie gehele getallen zult vinden die voldoen aan de vergelijking x n+y n = z n, waarbij n = 3, 4, 5,… Deze stelling ging de geschiedenis in als de laatste stelling van Fermat.
Pierre de Fermat was eigenlijk geen wiskundige maar een briljante pestkop. Zijn werkelijke beroep was rechter, maar hij had een satanisch plezier in het tarten van de wiskundigen van zijn tijd. Hij schreef ze brieven met stellingen die hij zelf al lang bewezen had.
Zijn bewijzen maakte hij echter nooit openbaar. Hij daagde de wiskundigen uit om zijn ongelijk aan te tonen. In de loop van de tijd zijn al zijn stellingen bewezen, of zijn in de handschriften van Fermat zijn bewijzen gevonden. Er bleef echter één stelling onbewezen: de bovenstaande 'laatste stelling van Fermat’.
Fermat schreef in de kantlijn van een van zijn schriften dat hij een elegant en simpel bewijs had, maar dat hij niet genoeg ruimte had om het op te schrijven. Aan de waarheid van deze bewering wordt ernstig getwijfeld. Alle grote wiskundigen na Fermat hebben met het probleem gestoeid. En eigenlijk was de hoop al opgegeven dat iemand het ooit zou bewijzen.
Er werd zelfs enige tijd gevreesd dat de stelling niet te bewijzen was. Op zijn vijfentwintigste bewees de wiskundige Kurt Gödel dat er altijd beweringen zullen bestaan die bewezen noch weerlegd kunnen worden.
Precies zoals de bewering die de geschiedenis inging als de Kretenzische paradox van Epimenides, die uitriep: ik ben een leugenaar. Als we proberen te bepalen of die bewering waar of onwaar is, ontstaan er problemen. Immers: als de bewering waar is, impliceert dat dat Epimenides een leugenaar is, maar ook dat hij de waarheid spreekt, dus dat hij geen leugenaar is. Als. omgekeerd, de bewering onwaar is, impliceert dat dat hij geen leugenaar is. Maar iemand die een onware bewering doet is een leugenaar.
Door de wiskundige wereld ging een angstige siddering. Zou het kunnen zijn dat de stelling van Fermat zo'n stelling was waarvan per definitie niet gezegd kan worden of hij waar of onwaar is? Dit zou impliceren dat er geen tegenvoorbeelden van bestaan, dus dat de stelling wel klopt maar alleen niet te bewijzen valt. O horror.
Tegen een wiskundig bewijs is niets in te brengen. Singh vertelt over Pythagoras: 'Die had over alles een mening. Hij schreef diepgaande verhandelingen over astronomie en geneeskunde. Pythagoras waarschuwde dat je geen bonen moest eten, aangezien je dan niet alleen uitademde via de mond maar ook door middel van het laten van scheten, met als gevolg dat je sneller zou sterven, omdat je kostbare levensadem verloor.’
Om deze medische theorie van Pythagoras wordt tegenwoordig hard gelachen. Zijn wiskundige stelling daarentegen, die Pythagoras elegant bewees, leert iedereen nog steeds op school:
'Het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.’ Deze beroemde stelling van Pythagoras staat duizenden jaren later nog als een huis. Geen wetenschapper zal dichter bij 'de waarheid’ komen dan een wiskundige met een wiskundig bewijs. Misschien dat het vak daardoor al die onevenwichtige weirdo’s aantrekt.