De wiskunde van de ergernis

‘Als iets fout kan gaan, dan zal het ook fout gaan’, voorspelt de wet van Murphy. Volgens de elementaire murphologie zal iets dat langzaam kan gaan, ook daadwerkelijk langzaam gaan. Zo zit de traagste kassiere altijd achter de snelkassa en gaat de andere rij altijd sneller. Maar dan zouden we allemaal steeds in de verkeerde rij staan! En dat is natuurlijk onzin, zegt prof. dr. ir. Onno Boxma, hoogleraar bedrijfseconometrie/besliskunde in Tilburg en werkzaam aan het CWI, Centrum voor Wiskunde en Informatica in Amsterdam: ‘Het lijkt alleen of je vaker in een langzame rij staat, omdat je daarin langer moet wachten, waardoor je in je leven dus meer tijd doorbrengt in langzame rijen’, aldus Boxma.
We kunnen gewoon niet meer wachten. Tijd is geld, dus wachten is verspilling. We kunnen niet meer wachten tot een tomaat uit zichzelf is gerijpt, we willen niet meer wachten tot de gewone oven onze maaltijden heeft verwarmd. Maar soms moeten we wachten en dan rijzen de problemen. Want, zoals de socioloog Raf Janssen eens schreef in een pleidooi voor ‘onthaasting’: ‘Haast is een gevoel dat het hele lichaam doortrekt en zich bij elk obstakel ontlaadt in uitbarstingen van irritatie.’ Dat kan leiden tot agressie en stress en het geeft een verhoogde kans op hart- en vaatziekten. Mensen die in sterke mate het zogenaamde ‘type-A-behaviour’ vertonen (nooit tijd, altijd gestresst), konden een paar jaar terug in Amerika een speciale gedragstherapie volgen. Een van de opdrachten die zij kregen, was een drukke bank binnengaan en daar de langste rij uitzoeken.
Boxma en zijn collega’s kiezen voor een meer pragmatische benadering. Als wiskundigen proberen zij wachtproblemen te analyseren zodat wachttijden verminderd kunnen worden. En dat kan met behulp van modellen uit de zogeheten ‘wachtrijtheorie’, ook wel: de wiskunde van de ergernis.
NEEM EEN alledaagse ergernis als de ‘busparadox’: Je moet altijd langer op de bus wachten dan de tijd die er volgens de dienstregeling voor staat. En komt- ie dan eindelijk, dan komt de volgende bus er vaak vlak achteraan. Heel onlogisch, zou je denken, maar niet volgens de wachtrijtheorie. Boxma: ‘Als je weet dat een bus drie keer per uur bij een halte komt, maar je kent de precieze dienstregeling niet, dan verwacht je dat je gemiddeld tien minuten moet wachten. Maar in werkelijkheid is dat langer omdat de bus niet exact om de twintig minuten komt. In de praktijk zijn er kortere en langere intervallen: dan weer eens 18 minuten, vervolgens 23 en daarna 17 minuten. Als er - heel extreem - altijd twee intervallen van tien minuten zijn en een van veertig minuten, dan komt er nog steeds drie keer per uur een bus. In die eerste twee intervallen moet je gemiddeld vijf minuten wachten, maar in het interval van veertig minuten moet je gemiddeld twintig minuten wachten. En je hebt een veel grotere kans om in zo'n lang interval bij de bushalte aan te komen: die kans is hier veertig op de zestig, terwijl je maar in twintig van de zestig gevallen in het kortere interval aankomt. Gemiddeld wacht je dus tweederde maal twintig minuten plus eenderde maal vijf is vijftien minuten.
In de praktijk kunnen bussen nooit die twintig minuten tussentijd aanhouden; ze drijven juist vrij ver van de dienstregeling af. Als een bus bijvoorbeeld elke vijf minuten bij een halte hoort te komen, zie je vaak twee bussen vlak achter elkaar arriveren. Daar worden mensen ontevreden van, ook al omdat ze een grotere kans krijgen om langer dan tweeeneenhalve minuut te moeten wachten. Dat gebeurt al als de tweede bus maar een beetje eerder dan vijf minuten na de eerste aankomt en dus relatief weinig mensen bij de haltes vindt. Hij hoeft dan korter te stoppen en haalt die eerste bus steeds meer in.’
Een oplossing zou zijn om de chauffeurs consequenter afstand te laten houden. ‘Je zou ook de passagiers beter kunnen voorlichten’, zegt Boxma. ‘Mensen die zich van dit principe bewust zijn, hebben een lager verwachtingspatroon en begrijpen dat het vrij normaal is als er twee bussen vlak na elkaar komen.’
Hoe meer onregelmatigheid dus, hoe langer de wachttijden worden. Dat zie je ook bij de kapper. Stel dat de kapper op de hoek altijd achttien minuten nodig heeft voor wassen-knippen-fohnen. Als zijn klanten precies om de twintig minuten binnenkomen, hoeft er nooit iemand te wachten. Maar in werkelijkheid kan de een in vijftien minuten van zijn dooie punten afgeholpen worden, terwijl de ander dertig minuten stil moet zitten voor een nieuwe coupe. ‘Door die schommelingen’, zegt Boxma, ‘en doordat de klanten niet precies om de twintig minuten binnenkomen, krijg je wachtsituaties. Met een onregelmatig aanbod van werk ontstaan wachttijden die heel hoog kunnen oplopen.’
Onlangs werd een hoogleraar Wiskunde en Maatschappij aan de Universiteit van Amsterdam benoemd, juist omdat die twee gebieden traditioneel (te) weinig met elkaar te maken hebben. In deze tijd van wijdverbreide ongecijferdheid spreken wiskundig geknobbelden een abracadabra waar niemand wat van begrijpt of wat aan heeft.
Zo niet in Tilburg. Daar promoveerden bij Boxma vlak na elkaar drie wiskundigen en econometristen in de wiskunde van het wachten. Zoals dr. Rob van der Mei, die sinds zijn promotie alles weet van wachtsituaties op kruispunten en op drukke, al dan niet digitale wegen. ‘Wachten is ergernis’, zegt Van der Mei, ‘en je kunt er heerlijk aan rekenen om dat te verbeteren. Dit is geen wiskunde om de wiskunde; iedereen heeft er belang bij, of dat nou in de auto is of binnen de telecommunicatie.’
Er is dan ook volop belangstelling vanuit ‘de maatschappij’ voor de bevindingen van de wiskundigen van het wachten. Bij gerobotiseerde produktiesystemen wordt veel met wachtrijmodellen gewerkt en het Amsterdamse Centrum voor Wiskunde en Informatica bestudeert al jaren met een groep Europese onderzoekers hoe nog meer tijdwinst te behalen is bij het gebruik van computernetwerken. Bedrijven als AT&T hebben tientallen mensen in dienst die daar hun hoofd over breken. Want als een bedrijf zijn computer- of communicatiesysteem ook maar een klein beetje efficienter kan inrichten, kunnen wachttijden drastisch afnemen, waardoor enorme bedragen meer worden verdiend dan door de iets langzamere concurrent.
ROB VAN DER MEI werkt als technisch- wetenschappelijk onderzoeker voor KPN aan de ontwikkeling van het digitale net van de (nabije) toekomst. Nu er zoveel nieuwe toepassingen in de telecommunicatie bij zijn gekomen, wil de Koninklijke PTT Nederland een netwerk waarover niet alleen telefoongesprekken getransporteerd worden, maar ook data, tekst en videobeelden. Worden daarvoor nu nog verschillende netwerken van koperkabels gebruikt, binnen afzienbare tijd moeten die vervangen zijn door een ISDN-net van glasvezelkabels. Daar kunnen veel meer bits aan informatie per seconde door, zodat er nog meer nieuwe toepassingen mogelijk worden - en nieuwe problemen. Van der Mei: ‘Als je telefoneert met je moeder in Emmeloord, kun je ongestoord bellen, want niemand kan op die lijn komen. Net als wanneer de koningin een stad bezoekt, wordt van tevoren alles afgezet en zijn er dus geen verkeersproblemen. Maar bij een digitaal net wordt informatie in “pakketjes” van nullen en enen verstuurd en aan de andere kant weer gedecodeerd, met het gevaar van verstoppingen en botsingen. Met wachtrijanalyse kun je die congestieproblemen aanpakken en bepalen wie voorrang krijgt op het net en hoeveel daarvoor betaald moet worden. Zo kan het nooit zo'n zooitje worden als op het Internet, waarvoor niemand zich verantwoordelijk voelt.’
Een telecommunicatiebedrijf heeft met klanten te maken die allemaal geholpen willen worden en wel zo eerlijk en efficient mogelijk, net als de kapper, de snackbar en het postkantoor. Maar eerlijkheid en efficientie zitten elkaar vaak in de weg. Wachten heeft immers een zeker standenkarakter. De wachttijd van een patient in een ziekenhuis bedraagt zo'n tien tot veertig minuten voor een gesprekje met de specialist van ongeveer tien minuten. Voor een ziekenhuis is het stukken goedkoper om meerdere patienten te laten wachten dan een specialist - die dan ook nooit hoeft te wachten op de volgende patient. Niet zo eerlijk misschien, maar het werkt wel lekker door.
Omgekeerd wint de rechtvaardigheid het ook wel eens. Steeds meer postkantoren vervangen de korte rijtjes voor de verschillende loketten door een ‘snake line’, een wachtrij van klanten die in volgorde van binnenkomst mogen doorstromen naar een vrij loket. Het verschil zit hem niet in de doelmatigheid maar in de rechtvaardigheid. Een klant die toevallig de snelste rij koos, wordt zo niet eerder geholpen dan de klant die zich al veel langer in een langzame rij staat te verbijten. Want dat is bijna onacceptabel in westerse samenlevingen, waar het ‘wie het eerst komt, die het eerst maalt’ haast een godsdienstig credo is geworden. De Amerikaanse hamburgerzaak Wendy’s heeft dat beter begrepen dan McDonald’s. Kan de oplettende klant bij McDonald’s nog wel eens snel van rij wisselen, bij Wendy’s moet men aansluiten in een lange rij. De wachttijden zijn er langer, maar de klanten tevredener, volgens Wendy’s.
Een zelfde soort afweging moet gemaakt worden door ontwerpers van kruispunten, zegt Van der Mei. ‘Als de stoplichten op een kruispunt beurtelings tien seconden op rood en tien seconden op groen staan, is dat wel rechtvaardig maar niet efficient. Maar als je daarentegen een rijstrook net zo lang groen licht geeft tot alle verkeer daar weg is, stroomt het wel goed door, maar moet het verkeer van de andere kant onrechtvaardig lang wachten.’
Van der Mei zou wel eens de wachttijden in het verkeer en daarmee zijn eigen ergernis willen terugdringen. ‘Ik zie vaak stoplichten die veel te kort op groen staan - dan gaat de tijd dat een rijtje auto’s moet optrekken en schakelen extra zwaar meewegen in de wachttijd.’ Voor iedere kruising kan hij binnen tien minuten met een algoritme uitrekenen wat de gulden middenweg tussen eerlijkheid en efficientie zou zijn. ‘Maar die techniek wordt nog nauwelijks gebruikt, het gaat nu meestal met de natte vinger.’
IN 1994 BEREIKTE het totale aantal uren dat Nederland wachtte in de file het treurige hoogtepunt van 25 miljoen. Volgens het ‘tijdwaarderingsscenario’ van de Adviesdienst Verkeer en Vervoer, de onderzoeksdienst van het ministerie van Verkeer en Waterstaat, kostte dit een slordige zeshonderd miljoen gulden, alleen al aan verspilde tijd van wachtende werknemers. Als de gevolgen van het ‘langzaam rijdend tot stilstaand verkeer’ daarbij nog opgeteld worden, veroorzaakt onze automobiliteit zo'n 1,4 miljard gulden economische schade.
Kunnen de wiskundige whizzkids ons niet met een eenvoudige rekensom verlossen van de waanzin van het dagelijkse bumper-aan-bumperwachten? ‘Ik denk dat er wel mogelijkheden voor verbeteringen zijn’, zegt Boxma voorzichtig. Hoe regelmatiger klanten bij de kapper aankomen, des te vloeiender het doorloopt en des te korter de wachttijden, memoreert hij. Dat zou ook in het verkeer regelmaat soelaas bieden. Want zelfs al wordt er minder verkeer aangeboden dan de weg maximaal aankan, toch kunnen ook dan files ontstaan doordat er opeens wat auto’s vlak na elkaar bij komen. Met ‘toeritdosering’ (druppelgewijs nieuwe auto’s toelaten) valt daar wat aan te doen. ‘Maar’, zegt Boxma, ‘ook de snelheden op de weg varieren, waarbij de traagste domineert en de boel ophoudt. In Amerika wordt nu geexperimenteerd met systemen waarbij auto’s in een soort treintje met dezelfde snelheid achter elkaar moeten rijden. Toch zul je altijd files krijgen wanneer het aanbod de grens nadert van wat de weg aankan. Een lichte toename van behoorlijk druk verkeer kan tot een enorme toename van files leiden. Dat is een van de eerste lessen van de wachtrijtheorie: als het aanbod de kritische grens gaat bereiken, lopen de wachttijden heel dramatisch op.’
Nemen onze ambtenaren van Verkeer en Waterstaat deze lessen wel voldoende ter harte? ‘De inzichten beginnen door te dringen, maar wij lopen natuurlijk een paar jaar achter op de wetenschap’, zegt ing. J. Bekkers van de Adviesdienst Verkeer en Vervoer. ‘En wachtrijtheorieen zijn ook niet altijd even makkelijk toe te passen. Neem bijvoorbeeld de Ringweg rond Amsterdam: als het verkeer in de Coentunnel stagneert, heeft dat al enorme gevolgen. Voor dat soort complexe situaties wordt het ontwikkelen van modellen heel las- tig.’
Op de A2 van Amsterdam naar Utrecht wordt in ieder geval al geprobeerd de automobilisten met borden boven de weg honderd kilometer per uur te laten rijden. Collectief, want als er maar een onruststoker tussen zit zal binnen de kortste keren iedereen nog maar tachtig kunnen rijden. En op de gloednieuwe experimentele ‘spitsstrook’ op de A28 is die streefsnelheid op negentig gesteld. Het fileprobleem kan dus iets verlicht worden als we maar zo saai en gelijkvormig mogelijk handelen. Of als we vaker met de trein gaan, natuurlijk.
Hoewel bij de NS ook een wereld te winnen is op het gebied van wachttijden. ‘Nou’, zegt Boxma, ‘ik vind dat de spoorwegen het gezien de complexiteit van hun problematiek helemaal niet zo slecht doen. Als een trein een beetje vertraging heeft en een andere trein moet daarop wachten zoals gebruikelijk is bij de NS, dan gaat dat als een olievlek verder over het hele land. Wat mij meer ergert is dat ik vaak te weinig informatie krijg, en dat de trein stilstaat zonder dat ik weet waarom.’
De wetenschap dat het wachten nog tien minuten of nog vijf wachtenden zal gaan duren, helpt al vaak ergernis te voorkomen. Een tweede truc is om de waargenomen wachttijd terug te brengen. Dat is de gedachte achter het tijdschrift in de wachtkamer en het muziekje over de telefoonlijn, wat overigens vaak minstens zo ergerlijk wordt gevonden. Nu het relaxte tijdperk van de barber shop songs, die naar men zegt voortkomen uit de zangimprovisaties van wachtende kappersklanten, ver achter ons ligt, moeten dienstbare bedrijven allerlei listen verzinnen om hun ongeduldige koning klant af te leiden. Zo hangen in hotellobby’s voor drukbezette liften vaak spiegels - dan heeft men tenminste wat te doen tijdens het wachten. Een luchtvaartmaatschappij in het Amerikaanse Texas was nog geraffineerder. Veel zakenreizigers klaagden over de trage terugbezorging van hun bagage. In een minuut liepen ze van het vliegtuig naar de bagageband, maar voordat de koffers gearriveerd waren, gingen nog wel vijf kostbare minuten voorbij. Een creatieve manager bedacht daarop dat de bagage voortaan afgehaald moest worden in een ander deel van het gebouw, op ongeveer vijf minuten loopafstand. Koffer en klant kwamen daar gelijktijdig aan en de klachten verdwenen.
Het zijn niettemin allemaal luxeproblemen. Wie op een wachtlijst belandt voor een open-hartoperatie en weken tot maanden moet wachten, weet pas echt hoe pijnlijk en soms zelfs dodelijk wachten kan zijn. En asielzoekers kunnen jaren van hun leven voorbij zien gaan met het wachten op een verblijfsvergunning. Vergeleken met onze schamele dertig minuten is dat pas echt inefficient - en onrechtvaardig.