Wetenschap

Vermoeden van Poincaré

Wetenschap: Wiskunde als bergbeklimmen

De wiskundige wereld is al een jaar lang in rep en roer. Het lijkt erop dat een van de grootste openstaande problemen nu definitief gekraakt is.

Sinds een paar jaar is er een officiële topzeven van de moeilijkste en interessantste vragen in de wiskunde. Bij de millennium wisseling loofde de rijke Bostonse zakenman Landon T. Clay zeven keer een miljoen dollar uit voor de oplossingen. Clay heeft zijn fortuin vergaard in de handel en het bankieren. Hij is een nazaat van een oude en gedistingeerde Amerikaanse familie. Zijn achternaam komt misschien bekend voor. Een van zijn verre voorvaderen was Cassius Clay, die in het begin van de negentiende eeuw een fervente bestrijder was van de slavenhandel — vandaar dus. De huidige Clay ontfermt zich over intellectuele verschoppelingen. Hij heeft besloten een aanzienlijk deel van zijn vele miljoenen in de wiskunde te investeren, niet alleen in die zeven prijzen — het is maar helemaal de vraag of die snel uitbetaald zullen moeten gaan worden — maar ook in allerlei beurzen voor jonge en minder jonge talenten.

Een van de zeven Clay-problemen is het zogeheten Poincaré-vermoeden. Henri Poincaré was een groot Frans wiskundige uit het einde van de negentiende eeuw, misschien wel het laatste universele genie. Zo was hij naast wiskundige ook mijnbouwkundig ingenieur, wetenschappelijk adviseur van de Franse regering, filosoof, bestsellerauteur en met Einstein co-ontdekker van de relativiteitstheorie. Ook hij heeft een bekende achternaam: zijn neef Raymond was president van Frankrijk tijdens de Eerste Wereldoorlog.

In 1904 stelde Poincaré dat er een eenvoudig criterium moet zijn om te zien of een driedimensionale ruimte de vorm van een bol heeft. Slordig gezegd: er mogen geen gaten in de ruimte zitten, zoals het geval is bij een binnenband of een krakeling. De precieze technische details doen er nu even niet toe. Belangrijk is dat hij het niet kon bewijzen. Toch is dit vermoeden uitgegroeid tot een van de belangrijkste drijfveren in de wiskunde. Opvallend genoeg zijn ondertussen de generalisaties van Poincarés idee in alle andere dimensies wél bewezen. Alleen de originele versie in onze vertrouwde drie dimensies — lengte, breedte en hoogte — bleef al die jaren halsstarrig weerstand bieden. Een vermoeden is trouwens een prachtige stijlvorm. Alleen in de wiskunde kun je beroemd worden door precies te zeggen wat je niet weet. Juist in de hardste wetenschap is geformaliseerde intuïtie goud waard.

Nu ziet het ernaar uit dat de heer Clay voor het eerst moet gaan uitbetalen. Het afgelopen jaar is duidelijk geworden dat de Russische wiskundige Grigori Perelman het vermoeden van Poincaré hoogstwaarschijnlijk bewezen heeft. Opvallend genoeg deed hij dat door gebruik te maken van een kleine variant van Einsteins relativiteitstheorie. Het bewijs van Perelman is trouwens slechts een spin-off van een veel ambitieuzer project dat hij wist te realiseren: een soort classificatie van alle mogelijke ruimtes. In de hele wereld zijn nu seminars aan de gang waar de experts zorgvuldig alle plussen en minnen wegen. Maar het ziet er allemaal heel goed uit.

Deze doorbraak is de tweede wiskundige aardverschuiving in minder dan tien jaar. Eerder bewees de Engelsman Andrew Wiles namelijk de Laatste Stelling van Fermat, een probleem dat al sinds 1630 de grootste wiskundigen tot wanhoop wist te drijven. We leven dus met recht in een gouden tijd voor de wiskunde, ook al is daar in Nederland weinig van te merken.

Perelman mag dan een briljante geleerde zijn, hij heeft geen baan. Hij leeft al meer dan tien jaar in compleet isolement in Sint-Petersburg in een flatje bij zijn moeder, interend op de rente van het geld dat hij ooit als postdoc in de Verenigde Staten verdiende. Als kluizenaar heeft hij in alle stilte aan zijn magnum opus kunnen werken. Ik ben bang dat hij niet echt een poster boy voor de wiskunde zal zijn. Lange tijd knipte hij zijn nagels noch zijn haar en leek op een kruising van Edward Scissorhands en Catweazle. Perelman is nu wel wat opgeschoond, maar hij is nog steeds niet echt helemaal van deze wereld.

Nu worden hem natuurlijk de meest fantastische banen aan de beste universiteiten aangeboden. Maar ik hoor dat hij de brieven met de prestigieuze retouradressen niet eens openmaakt. Het is niet mogelijk een gesprek met hem te voeren anders dan over zijn bewijs. Het miljoen van Clay kan hem ook niet veel schelen, althans zo gaat het gerucht. Hij zal de dollars waarschijnlijk niet komen ophalen.

Als het niet de miljoenen zijn, wat motiveert wiskundigen als Perelman dan wel om zo’n bovenmenselijke prestatie te leveren?

Misschien moeten we zijn prestatie eerder zien als het intellectuele equivalent van het als eerste beklimmen van Mount Everest. Het is een onschatbare ervaring om op de top aan te komen en als eerste het vergezicht te mogen zien. Dat is meer dan genoeg.

Een van de meest emotionele en getrouwe registraties van dit gevoel komt voor in een prachtige documentaire die de BBC maakte over Perelmans voorganger Andrew Wiles. Wiles had zeven jaar in stilte aan zijn bewijs gewerkt, maar toen hij uiteindelijk in de openbaarheid trad, werd er alsnog een fout ontdekt. Het was alsof op het laatste moment, vlak voor het beklimmen van de laatste meters naar de bergpiek, zich toch nog een kloof in het ijs opende die hem de weg versperde. De gehele wiskundige wereld hield dan ook de adem in toen dit gebeurde. Voor het ongedurige oog van zijn collega’s moest hij onder de grootst denkbare druk helemaal terug naar af.

Uiteindelijk vond Wiles de oplossing door een afslag te nemen die hij zeven jaar geleden links had laten liggen. In de documentaire beschrijft hij zijn gevoelens op dat beslissende moment: «Plotseling, totaal onverwacht, kreeg ik deze ongelooflijke openbaring. Het was het belangrijkste moment uit mijn carrière. Niets dat ik ooit zal doen (…) het was zo onbeschrijflijk mooi, het was zo eenvoudig en zo elegant, en ik bleef er met ongeloof twintig minuten lang naar staren. Gedurende de hele dag liep ik rondjes om het instituut. Ik bleef naar mijn bureau terugkomen om te zien of het er nog steeds was — het was er nog steeds.»

Wat heeft Perelman precies op die bergtop gezien?